Вы вошли как гость

1. Основное свойство алгебраической дроби. Правила

Алгебраическая дробь — это выражение вида

, где
Р и Q — многочлены; Р — числитель, а Q — знаменатель

алгебраической дроби.

Например:

a−b

b 2−1

где P = a−b , а Q = b 2−1 ;

x 2+3

y 3+x

где P = x 2+3 , а Q = y 3+x ;

y 2−1

y−1

где P = y 2−1 , а Q = y−1 .

Многочлен — это частный случай алгебраической дроби.

Например, многочлен y 3+2y+7 равен дроби

y 3+2y+7

,
а дробь

3x 2+5x−1

можно записать в виде многочлена

x 2+x−

Из курса математики мы знаем, что значение обыкновенной дроби
не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить
или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

Например:

3•2

5•2

.

Алгебраические дроби можно преобразовывать аналогичным способом:

числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на
один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно
и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование
заданной алгебраической дроби;

числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить
на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на
одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное
преобразование заданной алгебраической дроби, его называют
сокращением алгебраической дроби.

Данные правила называют основным свойством алгебраической дроби.

Рассмотрим примеры.

Дробь

x 2−x

x 2

можно заменить на

x−1

(числитель и знаменатель разделили на x ).

Дробь

x 2+3x

y+1

можно заменить на

x 3+3x 2

xy+x

(числитель и знаменатель умножили на x ).

Дробь

y 2−6y+9

y 2−9

можно заменить на

(y−3) 2

(y−3)(y+3)

y−3

y+3

(числитель и знаменатель разделили на y−3 ).

Равенство

y 2−6y+9

y 2−9

y−3

y+3

называется тождеством,
а преобразование дроби

y 2−6y+9

y 2−9

в дробь

y−3

y+3

— тождественным преобразованием заданной алгебраической дроби,
в данном случае, сокращением алгебраической дроби. Следует помнить,
что тождеством наше равенство является при условии, что y ≠ 3 и y ≠ – 3 ,
так как знаменатель изначальной дроби при данных значениях переменной
обращается в нуль и выражение

y 2−6y+9

y 2−9

теряет смысл.

Задание.

Найдите значение алгебраической дроби А =

(x+1)(x 2−2x+1)

x 2−1

при x равном 5127; 3003; 0; и 1.

Решение.

Подставлять такие большие числа в данное выражение довольно
трудоемкий процесс, попробуем его упростить (сократить алгебраическую дробь).

(x+1)(x 2−2x+1)

x 2−1

(x+1)(x 2−2x+1)

(x+1)(x−1)

=

=

x 2−2x+1 2

x−1

(x−1) 2

(x−1)

= x−1 .

Мы использовали:
1. формулу разность квадратов в знаменателе алг. дроби;
2. основное св-во алг. дроби, разделив числитель и знаменатель на x + 1;
3. формулу квадрат разности в числителе алг. дроби;
4. основное св-во алг. дроби, разделив числитель и знаменатель на x – 1;

Выполненные тождественные преобразования значительно
упростили нашу работу, но следует помнить, что при x = 1 и x = – 1
знаменатель изначального выражения обращается в нуль, следовательно
дробь не имеет смысла. Иными словами, область определения
выражения — (– ∞; –1) U (–1; 1) U (1; + ∞) или х ≠ –1; х ≠ 1 .

Найдем значения нашего выражения:

при х = 5127 ⇒ А = х – 1 = 5127 – 1 = 5126 ;
при х = 3003 ⇒ А = х – 1 = 3003 – 1 = 3002 ;
при х = 0 ⇒ А = х – 1 = 0 – 1 = – 1 ;

при х = 1 , казалось бы, что А = х – 1 = 1 – 1 = 0 ,
но при х = 1 выражение не имеет смысла (мы находим значения изначального выражения).

О т в е т : при х = 5127 , А = 5126 ; при х = 3003 , А = 3002 ;

при х = 0 , А = – 1 ; при х = 1 , А не имеет смысла .

Оглавление

следующая тема

1. Основное свойство алгебраической дроби. Правила

Задачи на тему "Основное свойство алгебраической дроби"