1. Основное свойство алгебраической дроби. Правила
Алгебраическая дробь — это выражение вида
Р
Q
, где
Р и
Q — многочлены;
Р — числитель, а
Q — знаменатель
алгебраической дроби.
Например:
a−b
b2−1
где P = a−b,
а Q = b2−1;
x2+3
y3+x
где P = x2+3,
а Q = y3+x;
y2−1
y−1
где P = y2−1,
а Q = y−1.
Многочлен — это частный случай алгебраической дроби.
Например, многочлен
y3+2y+7 равен дроби
y3+2y+7
1
,
а дробь
3x2+5x−1
5
можно записать в виде многочлена
3
5
x2+x−
1
5
.
Из курса математики мы знаем, что значение обыкновенной дроби
не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить
или разделить на одно и то же отличное от нуля число.
Например:
3
5
=
3•2
5•2
=
6
10
.
Алгебраические дроби можно преобразовывать аналогичным способом:
числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на
один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно
и то же отличное от нуля число); это — тождественное преобразование
заданной алгебраической дроби;
числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить
на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на
одно и то же отличное от нуля число); это — тождественное
преобразование заданной алгебраической дроби, его называют
сокращением алгебраической дроби.
Данные правила называют
основным свойством алгебраической дроби.
Рассмотрим примеры.
Дробь
x2−x
x2
можно заменить на
x−1
x
(числитель и знаменатель разделили на x ).
Дробь
x2+3x
y+1
можно заменить на
x3+3x2
xy+x
(числитель и знаменатель умножили на x ).
Дробь
y2−6y+9
y2−9
можно заменить на
(y−3)2
(y−3)(y+3)
=
y−3
y+3
(числитель и знаменатель разделили на y−3).
Равенство
y2−6y+9
y2−9
=
y−3
y+3
называется тождеством,
а преобразование дроби
y2−6y+9
y2−9
в дробь
y−3
y+3
— тождественным преобразованием заданной алгебраической дроби,
в данном случае, сокращением алгебраической дроби. Следует помнить,
что тождеством наше равенство является при условии, что
y ≠ 3 и
y ≠ – 3 ,
так как знаменатель изначальной дроби при данных значениях переменной
обращается в нуль и выражение
y2−6y+9
y2−9
теряет смысл.
Задание.
Найдите значение алгебраической дроби
А =
(x+1)(x2−2x+1)
x2−1
при
x равном
5127; 3003; 0; и
1.
Решение.
Подставлять такие большие числа в данное выражение довольно
трудоемкий процесс, попробуем его упростить (сократить алгебраическую дробь).
(x+1)(x2−2x+1)
x2−1
=
(x+1)(x2−2x+1)
(x+1)(x−1)
=
=
x2−2x+12
x−1
=
(x−1)2
(x−1)
= x−1 .
Мы использовали:
1. формулу разность квадратов в знаменателе алг. дроби;
2. основное св-во алг. дроби, разделив числитель и знаменатель на
x + 1; 3. формулу квадрат разности в числителе алг. дроби;
4. основное св-во алг. дроби, разделив числитель и знаменатель на
x – 1;
Выполненные тождественные преобразования значительно
упростили нашу работу, но следует помнить, что при
x = 1 и
x = – 1 знаменатель изначального выражения обращается в нуль, следовательно
дробь не имеет смысла. Иными словами, область определения
выражения —
(–
∞; –1) U (–1; 1) U (1; +
∞) или
х ≠ –1; х ≠ 1 .
Найдем значения нашего выражения:
при
х = 5127 ⇒
А = х – 1 = 5127 – 1 = 5126 ;
при
х = 3003 ⇒
А = х – 1 = 3003 – 1 = 3002 ;
при
х = 0 ⇒
А = х – 1 = 0 – 1 = – 1 ;
при х = 1 , казалось бы, что
А = х – 1 = 1 – 1 = 0 ,
но при
х = 1 выражение не имеет смысла (мы находим значения изначального выражения).
О т в е т : при х = 5127 , А = 5126 ; при х = 3003 , А = 3002 ;
при х = 0 , А = – 1 ; при х = 1 , А не имеет смысла .
Разложите числитель и знаменатель дроби на множители, сократите её и выберите правильный ответ:
1)
3xy−y
5y2−y
=
3x
5y
; =
y•(3x−1)
y•(5−1)
; =
3x−1
5y−1
.Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. 3xy – y = y • (3x – 1); 5y^2 – y = y • (5y – 1) . Неверно. Сократите дробь на y .
2)
3xy2+9x2y
12x2y−15xy2
=
3y+9x
12x−15y
; =
y+3x
4x−5y
; =
y+3x
4y−5x
.Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Вынесите 3 за скобки в числ. и знамен. и сократите дробь на 3 .
3)
21ab−35a
35a2−14a
=
21b−35
35a−14
; =
3ab−5a
5a2−2a
; =
3b−5
5a−2
.Неверно. 12x2y−15xy2 = 3xy • (4x – 5y) . Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Вынесите 7 за скобки в числ. и знамен. и сократите дробь на 7. Неверно. Вынесите а за скобки в числ. и знамен. и сократите дробь на а.
4)
2x3−18x
2x2+6x
=
x3−9x
x2+3x
; =
x2−9
x+3
; = x – 3 .Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Вынесите x за скобки в числ. и знамен. и сократите дробь на x. Неверно. x2−9 = x2−32 = (x – 3)(x + 3) . Сократите дробь на x + 3 .
5)
2x2−2
2x2−4x+2
=
x2−1
x2−2x+1
; =
x+1
x−1
; =
x−1
x+1
.Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Используйте разность квадратов и квадрат разности. Сократите дробь на x – 1 . Нeвeрнo. Задание выполнено. Неверно.
Разложите числитель и знаменатель на множители и сократите дробь: 1)
x2−4
x−2
=
; 2)
x2y2−1
xy−1
=
; 3)
x2y−y
xy+y
=
; 4)
2xy2−8x
2xy−4x
=
.
Разложите числитель и знаменатель на множители и сократите дробь: 1)