Школьный помощник
Вы вошли как гость
   
header
Оглавление. Алгебра  8 класс Сложение и вычитание алгебраических дробей 8 класс
 приступить к решению задач




1. Основное свойство алгебраической дроби. Правила



         Алгебраическая дробь   —   это выражение вида  
Р
Q
,   где 
Р   и   Q   —   многочлены;   Р   —   числитель,   а   Q   —   знаменатель 

алгебраической дроби.   


          Например: 

                   
ab
b 21
            где   P   =   ab ,     а   Q   =   b 21

                   
x 2+3
y 3+x
            где   P   =   x 2+3 ,     а   Q   =   y 3+x ;   

                   
y 21
y1
            где   P   =   y 21 ,     а   Q   =   y1 .   



          Многочлен   —   это частный случай алгебраической дроби. 

          Например, многочлен   y 3+2y+7   равен дроби  
y 3+2y+7
1

а дробь  
3x 2+5x1
5
  можно записать в виде многочлена  
3
5
x 2
+x
1
5
.   




         Из курса математики мы знаем, что значение обыкновенной дроби 
не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить 
или разделить на одно и то же отличное от нуля число.   

      Например:                
3
5
  =  
32
52
  =  
6
10


      Алгебраические дроби можно преобразовывать аналогичным способом: 

        числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить на 
один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на одно 
и то же отличное от нуля число);   это   —   тождественное преобразование 
заданной алгебраической дроби; 

        числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить 
на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на 
одно и то же отличное от нуля число);     это   —   тождественное 
преобразование заданной алгебраической дроби, его называют 
сокращением алгебраической дроби. 

      Данные правила называют основным свойством алгебраической дроби.   


      Рассмотрим примеры. 

    Дробь  
x 2x
x 2
    можно заменить на    
x1
x
 

          (числитель и знаменатель разделили на x ).   


    Дробь    
x 2+3x
y+1
    можно заменить на    
x 3+3x 2
xy+x
 

          (числитель и знаменатель умножили на x ).   


    Дробь  
y 26y+9
y 29
    можно заменить на    
(y3) 2
(y3)(y+3)
  =  
y3
y+3
 

          (числитель и знаменатель разделили на y3 ).   




         Равенство  
y 26y+9
y 29
  =  
y3
y+3
  называется тождеством,
а преобразование дроби  
y 26y+9
y 29
  в дробь  
y3
y+3
 

—   тождественным преобразованием заданной алгебраической дроби, 
в данном случае, сокращением алгебраической дроби. Следует помнить, 
что тождеством наше равенство является при условии, что   y ≠ 3   и   y ≠ – 3
так как знаменатель изначальной дроби при данных значениях переменной 
обращается в нуль и выражение  
y 26y+9
y 29
  теряет смысл.



              Задание. 

    Найдите значение алгебраической дроби   А =
(x+1)(x 22x+1)
x 21
 

при   x   равном   5127;   3003; 0;   и   1. 

            Решение. 


            Подставлять такие большие числа в данное выражение довольно 
трудоемкий процесс, попробуем его упростить (сократить алгебраическую дробь). 

                   
(x+1)(x 22x+1)
x 21
    =    
(x+1)(x 22x+1)
(x+1)(x1)
    = 

                    =    
x 22x+1 2
x1
    =    
(x1) 2
(x1)
    =     x1


Мы использовали:
  1. формулу разность квадратов в знаменателе алг. дроби;
  2. основное св-во алг. дроби, разделив числитель и знаменатель на   x + 1;
  3. формулу квадрат разности в числителе алг. дроби;
  4. основное св-во алг. дроби, разделив числитель и знаменатель на   x – 1;

            Выполненные тождественные преобразования значительно
упростили нашу работу, но следует помнить, что при   x = 1   и   x = – 1 
знаменатель изначального выражения обращается в нуль, следовательно
дробь не имеет смысла. Иными словами, область определения
выражения   —   (– ; –1) U (–1; 1) U (1; + )     или     х ≠ –1;   х ≠ 1 . 

      Найдем значения нашего выражения:

            при   х = 5127       ⇒       А   =   х – 1   =   5127 – 1   =   5126
            при   х = 3003       ⇒       А   =   х – 1   =   3003 – 1   =   3002
            при   х = 0           ⇒       А   =   х – 1   =   0 – 1     =   – 1

            при   х = 1 , казалось бы, что А   =   х – 1   =   1 – 1   =   0
            но   при   х = 1   выражение не имеет смысла (мы находим значения изначального выражения).   


            О т в е т :   при х = 5127 ,   А = 5126 ;     при х = 3003 ,   А = 3002 ; 

                                при х = 0 ,   А = – 1 ;       при х = 1 ,   А   не имеет смысла .



Задачи на тему "Основное свойство алгебраической дроби"



Разложите числитель и знаменатель дроби на множители, сократите её и выберите правильный ответ:
 
 
 

1)    
3xyy
5y2y
                  =  
3x
5y
  ;      
      =  
y(3x1)
y(51)
  ;      
      =  
3x1
5y1
  .


 





Разложите числитель и знаменатель на множители и сократите дробь:
 
 
  1)    
x24
x2
    =      
  ;                                       2)    
x2y21
xy1
    =      
  ;
 
 
  3)    
x2yy
xy+y
    =      
  ;                                     4)    
2xy28x
2xy4x
    =      
  .


 
 





Разложите числитель и знаменатель на множители и сократите дробь:
 
 
  1)    
2xy4y
4y
    =      
  ;                                       2)    
12xy8y2
4y2
    =      
  ;
 
 
  3)    
9xy33y2
3y2
    =      
  ;                                     4)    
xyy
4y2
    =      
  .


 
 





Разложите на множители числитель и знаменатель, используя вынесение общего множителя
за скобки
, формулы разность квадратов и квадрат разности (суммы), и сократите дробь:
 
 
 
  1)    
18a2c8b2c3
6ac+4bc2
    =      
  ;                             2)    
(x24)(x2)
x24x+4
    =      
  ;
 
 
  3)    
(x2y2y2)(x+1)
x2y2+2xy2+y2
    =      
  ;                   4)    
(3a248)(2a+8)
6a2+48a+96
    =      
  .


 
 





Разложите на множители числитель и знаменатель, используя   вынесение общего множителя за скобки   и   способ группировки ,    сократите дробь:
 
 
 
1)        
3x27x+2
6x2
    =      
  ;                       2)        
3x22x
63x27x
    =      
  .


 
 





Разложите на множители числитель и знаменатель, используя   вынесение общего множителя за скобки   и   способ группировки ,    сократите дробь:
 
 
 
1)        
13x2x221
6x21
    =    
  ;                       2)        
2x2+5x25
10x225x
    =      
  .


 
 





Разложите на множители числитель и знаменатель, используя   вынесение общего множителя за скобки   и   способ группировки ,    сократите дробь:
 
 
 
1)        
43x
13x3x212
    =    
  ;                       2)        
3x+5
9x2+12x5
    =      
  .


 
 




приступить к решению задач

Оглавление следующая тема