Теорема Виета
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Квадратные уравнения   Разложение квадратного трёхчлена на множители


 приступить к решению задач




9. Теорема Виета. Правила



         Для приведенного квадратного уравнения ( x² + bx + c = 0 ,   a = 1 ) 
сумма корней равна коэффициенту   b ,   взятому с обратным знаком   ( – b ), 
а произведение корней равно свободному члену   c : 

                                x 1 + x 2   =   – b ;           x 1 • x 2   =   c   . 

        В неприведенном квадратном уравнении   ax² + bx + c = 0 : 

                        x 1 + x 2   =   –
b
a
 ;               x 1 • x 2   =  
c
a
.   


        Например: 

                3x² + 2x – 1 = 0 ;           x 1 + x 2   =   –
2
3
;           x 1 • x 2   =   –
1
3
. 

        Можно догадаться, что     x 1   =   – 1     а     x 2   =  
1
3
: 

                                                        – 1 +
1
3
  =   –
2
3
;         – 1 •
1
3
  =   –
1
3
.   


        Доказательство. 

            D   =   b 2−4ac   ≥   0 ;           x 1   =  
−b−√ D
2a
;         x 2   =  
−b+√ D
2a
.   


x 1 + x 2 =
−b−√ D
2a
+
−b+√ D
2a
  =  
−b−√ D−b+√ D
2a
  =  
–2b
2a
  =   –
b
a
.   


x 1•x 2     =    
−b−√ D
2a
•
−b+√ D
2a
    =    
(−b−√ D)(−b+√ D)
4a 2
    = 

=  
(−b) 2−√ D 2
4a 2
  =  
b 2−D
4a 2
  =  
b 2−(b 2−4ac)
4a 2
  =
b 2−b 2+4ac
4a 2
  =  
c
a
. 


          Обратная Теорема Виета. 

Если числа x 1 и x 2 удовлетворяют равенствам   x 1 + x 2 = –
b
a
  и   x 1 • x 1 =
c
a
, 
то они — корни квадратного уравнения   ax 2 + bx + c = 0.   



         
приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Теорема Виета"



 
 
Выберите верный ответ, используя теорему Виета.

Если x1 и x2 — корни квадратного уравнения   x2+5x+3 ,  

то     x1 + x2   =      5 ;        – 5  ;         3 .

 





Выберите верный ответ, используя теорему Виета.  

Если x1 и x2 — корни квадратного уравнения   x2−6x+1 ,  

то     x1 • x2 =      1 ;        6 ;        – 6 .

 





Выберите верный ответ, используя теорему Виета.
 

Если x1 и x2 — корни квадратного уравнения   3x2–7x+3 ,  

то     x1 + x2   =      7 ;        2
1
3
 ;        – 2
1
3
 .

 





Выберите верный ответ, используя теорему Виета.
 

Если x1 и x2 — корни квадратного уравнения   3x2−4x−3 ,  

то     x1 + x2   =      1
1
3
 ;        –
4
3
 ;        – 1
1
3
 .

 





Выберите, используя теорему Виета, квадратные уравнения корни которых
 
x1=1     и    x2=
3
5
   .
 
 
 
1)    x2−1
3
5
x+
3
5
=0;             2)    x2−x+
3
5
=0;               3)    2x2−2
3
5
x+2
3
5
=0;

4)    3x2−4
4
5
x+1
4
5
=0;         5)    5x2−8x+3=0;           6)    x2+1
3
5
x−
3
5
=0;

7)    x2+1
3
5
x+
3
5
=0;             8)    2x2−1
6
5
x+
6
5
=0;         9)    
3
5
x2−1
3
5
x+
3
5
=0.


 
 





Выберите, используя теорему Виета, квадратные уравнения корни которых
 
x1=
2
7
     и    x2=3   .
 
 
 

1)    x2+3
2
7
x+
6
7
=0;             2)    2x2−6
4
7
x+1
5
7
=0;               3)    2x2+6
4
7
x+1
5
7
=0;

4)    x2−3
2
7
x+
6
7
=0;             5)    3x2+9
6
7
x+2
4
7
=0;               6)    3x2−9
6
7
x+2
4
7
=0;

7)    2x2−2
2
7
x+6=0;           8)    x2−3
2
7
x−
6
7
=0;                     9)    3x2−3
6
7
x+2
4
7
=0.