Умножение и деление алгебраических дробей 8 класс
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Сложение и вычитание алгебраических дробей   Преобразование рациональных выражений


 приступить к решению задач




3. Умножение, деление и возведения в степень алгебраических дробей. Правила



         Алгебраические дроби перемножаются и возводятся в натуральную степень так же, как и обыкновенные: 

      Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо: 
      перемножить их числители и результат записать в числитель, 
      перемножить их знаменатели и результат записать в знаменатель. 

                                   
а
b
 •
c
d
    =    
ac
bd
; 

               
x+5
x+y
  •  
x−5
x−y
      =      
(x+5)(x−5)
(x+y)(x−y)
      =      
x 2−25
x 2−y 2
.   


      Возведение алгебраической дроби в степень заключается в возведении 
      в эту степень числителя и знаменателя по отдельности. 

                                  (
а
b
) n   =    
a n
b n
; 

                                  (
x+5
x+y
) 2     =    
(x+5) 2
(x+y) 2
.   


      Правило деления алгебраических дробей выглядит так: 

                                 
а
b
:
c
d
    =    
а
b
•
d
c
    =    
ad
bc
; 

                   
x+5
x+y
:
x−y
x−5
    =    
x+5
x+y
•
x−5
x−y
    =    
x 2−25
x 2−y 2
.   




         Перед умножением и делением алгебраических дробей, зачастую выгодно разложить их числители и знаменатели на множители — это облегчает сокращение алгебраической дроби, которая получается в результате умножения или деления.   


          Пример 1.   Выполните действия: 

                                     
x 2−4
x 2+6x+9
:
x+2
x+3
. 

            Решение. 

               
x 2−4
x 2+6x+9
  :  
x+2
x+3
        =        
(x−2)(x+2)
(x+3) 2
  •  
x+3
x+2
        = 

      =      
(x−2)(x+2)(x+3)
(x+3) 2•(x+2)
        =        
x−2
x+3
.     




            Пример 2.   Выполните действия: 

                                   
x 2+2xy+y 2
x 2−y 2
: (
x+y
x−y
) 2 . 

            Решение. 

           
x 2+2xy+y 2
x 2−y 2
: (
x+y
x−y
) 2       =      
(x+y) 2
(x−y)(x+y)
•
(x−y) 2
(x+y) 2
      = 

  =      
(x+y) 2(x−y) 2
(x−y)(x+y)(x+y) 2
      =      
x−y
x+y
.   


приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Умножение, деление и возведения в степень алгебраических дробей"



Разложите числители и знаменатели на множители с помощью  вынесения общего множителя за скобки, формул квадрат суммы и  разность квадратов,  выполните умножение и сокращение алгебраических дробей:
 
 
 
а)            
x2+10x+25
16x−x3
   •  
4x+x2
x+5
     =      
    .
 
 
 
 
б)            
36−x2
x+7
   •  
x2+14x+49
6−x
     =      
    ^   
    .


 
 





Выберите верное значение выражения.
 

3x2y
y2
   •  
y
x2
   ,     при   х = 5000   и   у = 3000 ;                          

            3 ;                         3000 ;                       5000 ;                         9000 ;                         не имеет смысла.              

 





Разложите числители на множители способом группировки, и выполните умножение и сокращение алгебраических дробей:
 
 
 
 
 
а)        
x−3
x+3
   •  
x2−x−12
x−4
   =      
  ;             б)        
x2−x−2
x−2
   •  
x+2
x+1
   =      
  .  


 
 





Разложите числители и знаменатели на множители способом группировки , с помощью формулы разность квадратов, и выполните умножение и сокращение алгебраических дробей:
 
 
 
 
  а)          
x2−9
x2−x−6
   •  
x2−2x−8
x−4
       =      
  ;
 
 
  б)          
x2−2x−15
x−5
   •  
x2−4
x2+5x+6
       =      
  .  


 
 





Разложите числители на множители, и выполните умножение алгебраических дробей:
 
 
 
        1)            
x2−1
x+3
   •  
x2+6x+9
x−1
     =      
    ^   
;
 
 
        2)          
9x2−4y2
2x+5
   •  
4x2+20x+25
3x−2y
   •    
1
2x+5
       =        
    ^   
.