Сумма кубов и разность кубов
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Куб суммы и куб разности   Вынесение общего множителя за скобки


 приступить к решению задач




22. Сумма кубов и разность кубов. Правила



         Выражения вида 

                        a 2−ab+b 2   и   a 2+ab+b 2 

называют соответственно неполным квадратом разности 
и неполным квадратом суммы (сравните их с квадратом разности 
и квадратом суммы). 

                      a 2−2ab+b 2   и   a 2+2ab+b 2   



         При любых значениях a и b верно равенство   

                            (a+b)(a 2−ab+b 2)   =   a 3+b 3 .               (1)   


            Доказательство.   

                          (a+b)(a 2−ab+b 2)     =   

                  =     a 3+a 2b−a 2b−ab 2+ab 2+b 3     =   

                  =     a 3+b 3   

          Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b, 
то оно является тождеством. Это тождество называется 
формулой суммы кубов . Если в эту формулу вместо a и b 
подставить какие-нибудь выражения, например 2x и y 2 , 
то опять получится тождество.   

                  (2x+y 2)(4x 2−2xy 2+y 4)   =   8x 3+y 6 . 

      Поэтому формула суммы кубов читается так:   

      произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности 
      равно сумме кубов этих выражений.   



         При любых значениях a и b верно равенство   

                            (a−b)(a 2+ab+b 2)   =   a 3−b 3 .               (2)   


            Доказательство.   

                          (a−b)(a 2+ab+b 2)     =   

                  =     a 3−a 2b+a 2b−ab 2+ab 2−b 3     =   

                  =     a 3−b 3   

          Так как равенство (2) верно при любых значениях a и b, 
то оно является тождеством. Это тождество называется 
формулой разности кубов . Если в эту формулу вместо a и b 
подставить какие-нибудь выражения, например 2x и y 2 , 
то опять получится тождество.   

                  (2x−y 2)(4x 2+2xy 2+y 4)   =   8x 3−y 6 . 

      Поэтому формула разности кубов читается так:   

      произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы 
      равно разности кубов этих выражений.   


приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Сумма кубов и разность кубов"



Используя формулу сумма кубов или разность кубов, разложите
многочлен на множители и выберите правильный ответ.
 
 
 
Выберите вариант первого действия

8x3−y3 =  

   =   (2x – y)  ( 4x2  + 2xy +  y2 )

   =   (8x – y)  ( 64x2  + 8xy +  y2 )

   =   (2x + y)  ( 4x2  – 2xy +  y2 )

   =   (8x – y)  ( 64x2  – 8xy +  y2 )

 





Используя формулу сумма кубов или разность кубов,
найдите неизвестные одночлены   А ,   В   и   C .
 
 
 
1)       x3   +   A1        =       (x  +  2) (  B1   –  2x   +    C1 ) ;
 
 
 
          A1     =    
    ^   
  ;           B1     =    
    ^   
  ;           C1     =    
    ^   
  ;
 
 
 
 
 
 
2)       125x9   +   A2        =       ( B2   +    3y4 ) ( 25x6 –    C2   +   9y8   ) ;
 
 
 
 
        A2     =    
    ^   
  ;        B2     =    
    ^   
  ;      C2     =    
    ^   
.


 
 





Найдите значение выражения, если    x =  4 000 005     a     y  =  4 000 003 .
 
 
 
 
 
1)      
x3−y3
x2+xy+y2
       =      
  ;                 2)      
x3+y3
x2−xy+y2
       =      
  .