Разложение многочленов на множители с помощью формулы разности квадратов
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Разложение многочлена на множители способом группировки   Разложение многочленов на множители с помощью формул куб суммы и куб разности, сумма кубов и разность кубов


 приступить к решению задач




25. Разложение многочленов на множители с помощью формул разности квадратов, квадрата суммы и квадрата разности. Правила



         Если формулу разности квадратов     (a – b)(a + b)   =   a 2 – b 2 
записать справа налево, то получится тождество 

                                      a 2 – b 2     =     (a – b) (a + b) , 

которое позволяет разложить разность квадратов на множители. 
Оно читается так: 

        |       разность квадратов двух выражений равна произведению 
        |       разности этих выражений и их суммы.   



    Примеры:   


      1)     16x 6 –   9y 4     =     (4x 3) 2 –   (3y 2) 2       =       (4x 3 – 3y 2) (4x 3 + 3y 2) ;     




      2)     1
9
16
a 4   –   1
7
9
b 6     =    
25
16
a 4   –  
16
9
b 6     =     (
5
4
a 2) 2 –   (
4
3
b 3) 2     = 

              =                 (
5
4
a 2   –  
4
3
b 3)   (
5
4
a 2   +  
4
3
b 3) ;   



      3)   975 2 – 25 2   =     (975 – 25) (975 + 25)     =     950 • 1000     =     950 000 ;     





      4)    
4x 4−9y 4
2x 2−3y 2
        =        
(2x 2−3y 2)(2x 2+3y 2)
2x 2−3y 2
      =       2x 2+3y 2 .   




         Формулы   

            (a + b) 2     =     a 2 + b 2 + 2ab       и       (a – b) 2     =     a 2 + b 2 – 2ab 

        позволяют раскладывать на множители трехчлены 
        соответствующих видов: 

            a 2   +   b 2   +   2ab       =           (a + b) • (a + b)       =         (a + b) 2 ; 

            a 2   +   b 2   –   2ab       =           (a – b) • (a – b)       =         (a – b) 2 .   



      Например:   


          1)     4x 2 – 4x + 1     =       (2x) 2 + 1 2 – 2 • 2x • 1     =     (2x – 1) 2 ;   



          2)     25a 2 + 30ab + 9b 2     =       (5a) 2 + (3b) 2 + 2 • 5a • 3b     =     (5a + 3b) 2 ;   



          3)               16x 4 – 72x 2 + 81     =       0 ;   


                            (4x 2) 2 + (9) 2 – 2 • 4x 2 • 9   =   0 ;   


                            (4x 2 – 9) 2   =   0 ;         4x 2 – 9   =   0 ;   


                            (2x) 2 – 3 2   =   0 ;   


                            (2x – 3) (2x + 3)   =   0 ;   


                            2x – 3   =   0 ;         2x + 3   =   0 ;   


                            x 1   =   1,5 ;         x 2   =   – 1,5 .   



приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Разложение многочленов на множители с помощью формул разности квадратов, квадрата суммы и квадрата разности"



Разложите числитель на множители и упростите выражение:
 
 
 
 
 
1)          
x2−y2
x+y
         =      
    ^   
;
 
 
2)          
x4−y4
(x−y)(x2+y2)
         =      
    ^   
  .
 


 
 





Разложите числитель и знаменатель на множители и упростите выражение:
 
 
 
 
 
         
3x4−3y4
3x3−3x2y+3xy2−3y3
         =      
    ^   
  .


 
 





Разложите числитель и знаменатель на множители и упростите выражение:
 
 
 
 
 
1)        
16x4−81y4
8x3−12x2y+18xy2−27y3
         =      
    ^   
  ;
 
 
 
 
 
2)        
81x4−625y4
27x3+45x2y+75xy2+125y3
         =      
    ^   
  .
 


 
 





Разложите числитель на множители и упростите выражение:
 
 
 
 
 
1)          
9x2−16y2
3x−4y
−4y         =      
    ^   
;
 
 
2)          
9x6−25y4
3x3+5y2
+9y2−3x3         =      
    ^   
  .
 
 


 
 





Выберите из предложенных вариантов многочлены, которые можно разложить на множители
с помощью формул квадрат суммы или квадрат разности.
 
 
 
 
 
1)      x2+4xy+4y2   ;             2)       9x4−6x2y+4y2   ;               3)       (2x)6+32x3y+(2y)2   ;

4)       xz2+4xyz+4y2   ;         5)       x2z2+10xyz+25y2   ;         6)       4(xz)2−8xyz+4y2   .


 
 





Выберите из предложенных вариантов многочлены, которые можно разложить на 3
множителя, вынесением общего множителя за скобки и используя формулу  
разность квадратов .
 
 
 
 
 
1)      27x3z−3xy2z3   ;             2)       9x3−4xy2   ;               3)       50x5z−2x3y2z3   ;

4)       x3z−x3y2z4   ;                 5)       x3z−xy2z3  ;               6)       25x3z2−9x3y2z3   .


 
 





Разложите многочлены на множители и выберите из предложенных вариантов верные ответы.
 
 
1)     5x2+20xy+20y2   =   ;                       2)       27x2+36xy+12y2   =   ;  
 
 
 
 

  (x+2y)2 ;                    5(x+2y)2 ;                     2(x+3y)2 ;                      3(x+2y)2 ;      

   (5x+2y)2 ;                  (2x+3y)2 ;                    3(3x+2y)2 ;                    3(3x+3y)2 .



 
 





Разложите многочлены на множители и выберите из предложенных вариантов верные ответы.
 
 
1)       28x3z   –   63xy2z3     =     ;                             2)         20x5y4   –   45xy2    =     ;  
 
 
 
 
 
7x(2x – 3yz) (2x + 3yz) ;            7xz(2x – 3y) (2x + 3y) ;                 7xz(2x – 3yz) (2x + 3yz) ;

5xy(2x2y – 3)(2x2y + 3) ;            5x(2x2y2 – 3)(2x2y2 + 3) ;              5x(2x2y – 3y)(2x2y + 3y) ;

7z(2x – 3yz) (2x + 3yz) ;            5xy2(2x2y – 3)(2x2y + 3) ;              5y2(2x2y – 3)(2x2y + 3) .