Разложение многочлена на множители комбинацией различных способов
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Разложение многочленов на множители с помощью формул куб суммы и куб разности, сумма кубов и разность кубов   Метод выделения полного квадрата


 приступить к решению задач




27. Разложение многочлена на множители комбинацией различных способов. Правила



         В предыдущих темах были использованы различные способы 
разложения многочлена на множители. Однако часто каждый из этих 
способов в отдельности не приводит к достижению цели, и для 
разложения многочлена на множители приходится пользоваться 
их комбинацией. 

          Напомним формулы: 

                      a 2+2ab+b 2   =   (a+b) 2     —   квадрат суммы   (1) ; 

                        a 2−2ab+b 2   =   (a−b) 2     —   квадрат разности   (2) ; 

                      a 2−b 2   =   (a+b)(a−b)     —   разность квадратов   (3) .   



        Примеры их применения:   


              x 2+2xy 2+y 4     =     x 2+2xy 2+(y 2) 2     =     (x+y 2) 2   (1) ;   


              x 6−2x 3y 2+y 4     =     (x 3) 2-2x 3y 2+(y 2) 2     =     (x 3−y 2) 2   (2) ;   


              (2x+3y) 2−x 2y 2       =       (2x+3y) 2−(xy) 2       = 

                    =         (2x+3y+xy)(2x+3y−xy)     (3) .     





          Пример 1         (квадрат суммы + разность квадратов). 

        Разложим на множители многочлен     x 2 – z 2 + 2xy + y 2 .   


        Решение.       Сгруппируем первый, третий и четвёртый члены: 

                  x 2 – z 2 + 2xy + y 2     =     (x 2 + 2xy + y 2)   –   z 2     = 

                              применим формулу квадрат суммы 

                    =     (x+y) 2   –   z 2   = 

                              применим формулу разность квадратов 

                    =     ( (x + y)   –   z )   ( (x + y)   +   z )       =     ( x + y – z) (x + y + z) .   




          Пример 2       ( квадрат разности + разность квадратов). 

        Сократим алгебраическую дробь    
x 2−x 2y 2−2xy+y 2
x−y−xy
 .   


        Решение. 

                  Cгруппируем первый, третий и четвёртый члены в числителе: 

                     
x 2−x 2y 2−2xy+y 2
x−y−xy
        =    
(x 2−2xy+y 2)−x 2y 2
x−y−xy
    = 

                    применим формулу квадрат разности

                        =    
(x−y) 2−x 2y 2
x−y−xy
    =    
(x−y) 2−(xy) 2
x−y−xy
    = 

                    применим формулу разность квадратов и сократим дробь 

                        =    
(x−y+xy)(x−y−xy)
x−y−xy
    =     x−y+xy   .   


        Ответ : 

                     
x 2−x 2y 2−2xy+y 2
x−y−xy
    =     x−y+xy .   




          Пример 3 

        (вынесение общего множителя + квадрат разности + разность квадратов). 

        Сократим алгебраическую дробь    
3x 4−3z 2−6x 2y+3y 2
3x 2−3y−3z
.   


          Решение. 

                    В числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель   3 : 

               
3x 4−3z 2−6x 2y+3y 2
3x 2−3y−3z
    =    
3(x 4−z 2−2x 2y+y 2)
3(x 2−y−z)
    = 

                  разделим числитель и знаменатель на   3 

                        =    
x 4−z 2−2x 2y+y 2
x 2−y−z
    = 

                  cгруппируем первый, третий и четвёртый члены в числителе: 

                =    
(x 4−2x 2y+y 2)−z 2
x 2−y−z
    =    
((x 2) 2−2x 2y+y 2)−z 2
x 2−y−z
    = 

                    применим формулу квадрат суммы 

                        =    
(x 2−y) 2−z 2
x 2−y−z
    = 

                    применим формулу разность квадратов и сократим дробь 

                        =    
(x 2−y+z)(x 2−y−z)
x 2−y−z
    =     x 2−y+z   .   


          Ответ : 

                     
3x 4−3z 2−6x 2y+3y 2
3x 2−3y−3z
    =     x 2−y+z .   



приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Разложение многочлена на множители комбинацией различных способов"



Упростите алгебраические дроби:
 
 
 
1)        
x4−x2y2+2x2y+y2
x2−xy+y
     =    
    ^   
;
 
 
 
2)        
x4−4x2+2x2y2+y4
x2−2x+y2
     =    
    ^   
.


 
 





Упростите алгебраические дроби:
 
 
 
 
 
1)        
x4−2x3y+x2y2−z4
x2−xy−z2
     =    
    ^   
;
 
 
 
 
2)          
9x4−24x3y+16x2y2−4z4
3x2−2z2−4xy
       =    
    ^   
.


 
 





Упростите алгебраические дроби:  
 
 
 
 
1)        
(5a−4b)2−(2a+7b)2
3a−11b
       =          
    ^   
  ;
 
 
 
 
2)      
9(2a−4b)2−4(a+b)2
2a−7b
       =          
    ^   
    .


 
 





Упростите алгебраические дроби:  
 
 
 
 
1)        
(7a−2b)2−(3a+4b)2
8a−12b
       =          
    ^   
  ;
 
 
 
 
2)      
(9a−b)2−(6a+7b)2
9a−24b
       =          
    ^   
    .


 
 





Упростите алгебраические дроби:
 
 
 
 
 
1)      
81x2+108xy+36y2−9
27x+18y−9
     =    
    ^   
;
 
 
 
 
2)          
4x6−8x4y+4x2y2−16
4x3−4xy−8
         =    
    ^   
.