Квадратные уравнения
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Квадратный корень из неотрицательного числа   Теорема Виета


 приступить к решению задач




8. Квадратные уравнения. Правила



          Квадратное уравнение   —   это уравнение вида 

                                            ax 2+bx+c =   0 , 

где коэффициенты   a ,   b   и   c   —   любые действительные числа, 
причем   а ≠ 0 . 

        Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной, 
при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство. 

          Решить квадратное уравнение   —   значит найти все его корни или 
установить, что корней нет.   



          Последовательность решения квадратного уравнения 

                                            ax 2+bx+c   =   0 :   


  •   находим дискриминант     D   =   b 2 – 4ac ;   


  •   если   D < 0 ,   то квадратное уравнение не имеет корней ; 

  •   если   D = 0 ,   то квадратное уравнение имеет один корень   x   =  
–b
2a
 ; 

  •   если   D > 0 ,   то квадратное уравнение имеет два корня   

                        x 1   =  
–b+√ D
2a
,           x 2   =  
–b−√ D
2a
.   




         Пример решения квадратного уравнения 

                                  x 2   +   x   –   6   =   0 . 

          Здесь   a = 1 ,   b   =   1 ,   c = – 6 , 

                    D   =     b 2 – 4ac     =   1   –   4 • 1 • (–6)   =   25 . 

          D > 0 ,   значит уравнение имеет два корня : 

                  x 1   =    
–b+√ D
2a
    =  
–1+√ 25
2•1
  =   2 , 

                  x 2   =    
–b−√ D
2a
    =  
–1−√ 25
2•1
  =   –3 . 

        О т в е т :           x 1   =   2 ,     x 2   =   –3 .   



                                          Основные понятия 

        Коэффициенты   a ,   b   и   с   называют: 

                  а   —   первый или старший коэффициент ; 
                  b   —   второй коэффициент или коэффициент при   х ; 
                  с   —   свободный член.   


        Приведённым называют квадратное уравнение у которого старший 
коэффициент равен   1 : 

                        x 2+5x−7   =   0 ;             x 2−
3
7
x+
5
7
  =   0 .   


        Если старший коэффициент отличен от   1 , то уравнение 
называется неприведённым : 

                        3x 2+5x−7   =   0 ;             8x 2−3x+2   =   0 . 

        Полное квадратное уравнение   —   уравнение в котором присутствуют 
все три слагаемых : 

                        5x 2+6x−1   =   0 ;             11x 2−7x+3   =   0 .   


        Неполное квадратное уравнение   —   уравнение в котором хотя бы один 
из коэффициентов   b   или   c   равны нулю : 

                        5x 2+6x   =   0 ;         5x 2+6   =   0 ;         x 2   =   0 .     




приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Квадратные уравнения"



Решите квадратные уравнения.
 
1)     −x2+12x−35  =    0  ;                                             2)        y2+10y+21  =    0 ;
 
 
          D   =    
;                                                                             D   =    
;
 
 
          x1   =    
;       x2   =    
.                                              y1   =    
;       y2   =    
.


 
 





Решите квадратные уравнения.
 
1)     x2+x−20  =    0  ;                                                 2)        y2−8y−9  =    0 ;
 
 
          D   =    
;                                                                             D   =    
;
 
 
          x1   =    
;       x2   =    
.                                              y1   =    
;       y2   =    
.


 
 





Решите квадратные уравнения.
 
1)     x2+x−6  =    0  ;                                                     2)        y2+y−12  =    0 ;
 
 
          D   =    
;                                                                             D   =    
;
 
 
          x1   =    
;       x2   =    
.                                              y1   =    
;       y2   =    
.


 
 





Решите квадратные уравнения.
 
 
1)     16x2−40x+25  =    0  ;                                             2)        4y2−28y+49  =    0 ;
 
 
 
             x     =    
  .                                                                            y     =    
  .


 
 





Решите квадратные уравнения.
 
 
 
1)     2x2−1
2
3
y+
1
3
  =    0  ;                                             2)        y2+
1
3
y−
2
3
  =    0 ;
 
 
          D   =    
 ;                                                                          D   =    
  ;
 
 
          x1   =    
;       x2   =    
  .                                          y1   =    
;       y2   =    
  .