Разложение квадратного трёхчлена на множители
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Теорема Виета   Иррациональные уравнения


 приступить к решению задач




10. Разложение квадратного трёхчлена на множители. Правила



         Упростим выражение:              
2x 2−3x+1
2x−1
     . 

        Для этого надо разложить числитель на множители. 
Воспользуемся формулой       ax 2+bx+c   =   a(x−x 1)(x−x 2) 
где   x 1   и   x 2   —   корни уравнения     ax 2+bx+c   =   0 . 

        Решим уравнение:       2x 2−3x+1   =   0   . 

            D   =   b 2 – 4ac   =   (–3) 2   –   4•2•1   =   9   –   8   =   1 ; 

            x 1   =  
−b+√ D
2a
  ;                   x 2   =  
−b−√ D
2a
  . 

            x 1   =  
3+√ 1
2•2
  =   1   ;             x 2   =  
3−1
2•2
  =   0,5.   


        Разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители; 

                   
2x 2−3x+1
2x−1
    =    
2(x−1)(x−0,5)
2x−1
    = 

          вынесем   2   в знаменателе за скобку. 

          =    
2(x−1)(x−0,5)
2(x−0,5)
  =   x−1 ;   при   2x – 1 ≠ 0     ⇒     x ≠ 0,5   .   


        Вывод:        
2x 2−3x+1
2x−1
  =   x−1       при       x   ≠   0,5   .     






         Докажем верность формулы     ax 2+bx+c   =   a(x−x 1)(x−x 2) , 
используя теорему Виетта. 

x 1+x 2   =   −
b
a
        ⇒         b   =   −a(x 1+x 2)   =   −ax 1−ax 2 ; 

x 1•x 2   =  
c
a
              ⇒         c   =   a•x 1•x 2   =   ax 1x 2 ; 

        Подставим вместо   b   и   c   выражения   −ax 1−ax 2   и   ax 1x 2 ; 

            ax 2+bx+c     =     ax 2+(−ax 1−ax 2)x+ax 1x 2     = 

      =             ax 2−ax 1x−ax 2x+ax 1x 2           = 

            выносим   а   за скобку и группируем слагаемые; 

      =     a(x 2−x 1x−x 2x+x 1x 2)     =     a( (x 2−x 1x)−(x 2x−x 1x 2) )     = 

            выносим за скобку   x   в первой группе и   x 2   во второй;   


      =       a( x(x−x 1)−x 2(x−x 1) )       = 

            выносим за скобку общий множитель   (x−x 1) ; 

      =     a( (x−x 1)(x−x 2) )       =     a(x−x 1)(x−x 2)   .   



приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Разложение квадратного трёхчлена на множители"



Разложите  квадратный трёхчлен на множители и упростите выражение.
 
 
а)          
x2−5x+6
x−2
   =    
  ,      при     x ≠  
  ;
 
 
б)          
x2+x−6
x+3
   =    
  ,        при     x ≠  
  .


 
 





Разложите  квадратный трёхчлен на множители и упростите выражение.
 
 
а)          
x2−7x+12
x−4
   =    
  ,      при     x ≠  
  ;
 
 
б)          
x2+3x−10
x+5
   =    
  ,        при     x ≠  
  .


 
 





Разложите  квадратный трёхчлен на множители и упростите выражение.
 
 
а)          
x2+9x+18
x+3
   =    
  ,      при     x ≠  
  ;
 
 
б)          
x2−2x−3
x−3
   =    
  ,        при     x ≠  
  .


 
 





Разложите  квадратный трёхчлен на множители и упростите выражение.
 
 
а)          
3x2−4x+1
x−
1
3
   =    
  ,      при     x ≠  
  ;
 
 
б)          
5x2+3x−2
x−0,4
   =    
  ,        при     x ≠  
  .


 
 





Разложите квадратный трёхчлен на множители и выберите верный ответ.
 

x2+5x+6=          =(x+2)(x+3)  ;                =(x−2)(x+3)  ;                =(x−2)(x−3)  .

 





Разложите квадратный трёхчлен на множители и выберите верный ответ.
 

x2−5x−36=         =(x−4)(x+9)  ;               =(x−4)(x−9)  ;               =(x+4)(x+9)  .

 





Разложите  квадратный трёхчлен на множители и упростите выражение.  
 
 
а)          
x2+x−12
x2−x−6
   =    
  ,      при     x ≠  
    ,    
  ;
 
 
б)          
x2+1
1
2
x−1
x2−4
1
2
x−2
1
2
   =    
  ,       при     x ≠  
    ,    
  .