Куб суммы и куб разности
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Разность квадратов   Сумма кубов и разность кубов


 приступить к решению задач




21. Куб суммы и куб разности. Правила



         При любых значениях a и b верно равенство   

                          (a+b) 3   =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 .               (1)   


          Доказательство.   

                (a+b) 3     =     (a+b)(a 2+2ab+b 2)   = 

                =   a 3+2a 2b+ab 2   +   a 2b+2ab 2+b 3   =   

                =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3   

        Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b, 
то оно является тождеством. Это тождество называется 
формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b 
подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и  2z ,
то опять получится тождество.

                (5y 3+2z) 3   =   125y 9+150y 6z +60y 3z 2+8z 3 .       (2)   

      Поэтому формула куба суммы читается так:   

    куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения 
    плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, 
    плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, 
    плюс куб второго выражения. 


          При любых значениях a и b верно равенство   

                          (a−b) 3   =   a 3−3a 2b+3ab 2−b 3 .               (3)   


          Доказательство.   

                (a−b) 3     =     (a−b)(a 2−2ab+b 2)   = 

                =   a 3−2a 2b+ab 2   −   a 2b+2ab 2−b 3   =   

                =   a 3−3a 2b+3ab 2−b 3   

        Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b, 
то оно является тождеством. Это тождество называется 
формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b
подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и  2z , 
то опять получится тождество.

                (5y 3−2z) 3   =   125y 9−150y 6z +60y 3z 2−8z 3 .       (4)   

        Поэтому формула куба разности читается так:   

      куб разности двух выражений равен кубу первого выражения 
      минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго, 
      плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго, 
      минус куб второго выражения.   


приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Куб суммы и куб разности"



Используя формулу куба суммы или куба разности, преобразуйте выражение  
в многочлен стандартного вида и выберите правильный ответ.  
 
 
 
Выберите вариант первого действия

(a−c)3=  

1)                         =a3−3a2c+3ac2−c3  

2)                        =a3−3a2c+3ac2+c3  

3)                        =a3−3ac2+3ac2−c3  

 





Используя формулу куба суммы или куба разности, преобразуйте выражение    
в многочлен стандартного вида и выберите правильный ответ.  
 
 
 
 
 
Выберите вариант первого действия

(3m−2)3=  

1)                       =27m3−54m2+36m−8 ;  

2)                       =27m3−54m2+54m−8 ;

3)                       =27m3−36m2+36m−8 .  

 
 





Найдите одночлены, которые должны заменить  Xn ,  чтобы получились тождества.
 
 
 
a)       (a3+  X1  )3     =      a9+3a7b+3a5b2+a3b3 ;                     X1     =      
    ^   
;
 
 
б)       (3a2+  X2  )3    =    27a6+54a5+36a4+8a3 ;                    X2     =      
    ^   
;
 
 
в)       (2a3+  X3  )3    =    8a9+24a6b+24a3b2+8b3 ;                X3     =      
    ^   
;


 
 





Найдите одночлены, которые должны заменить    Xn и   Yn ,  чтобы получились тождества.  
 
 
 
 
 
a)       (a2+  X1  )3     =      a6+9a5+27a4+  Y1 ;  
             
 
          X1     =      
    ^   
;           Y1     =      
    ^   
;
 
 
 
 
б)       (2a3+  X2  )3    =    8a9+24a8+24a7+  Y2 ;  
               
 
          X2     =      
    ^   
;           Y2     =      
    ^   
;