Вы вошли как гость

11. Иррациональные уравнения. Правила

Иррациональные уравнения — уравнения в которых присутствует
переменная под знаком квадратного корня.

Например: √ 2x+6=2x ; √ 3x+4+x=0 .

Решим первое иррациональное уравнение:

√ 2x+6=2x ;

возведем в квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от знака корня;

(√ 2x+6) 2=(2x) 2 ⇒ 2x+6=4x 2 ;

перенесем 2x+6 в правую часть уравнения изменив знак;

0=4x 2−2x−6 ⇒ 4x 2−2x−6=0 ;

найдем корни квадратного уравнения 4x 2−2x−6=0 ;

D =b 2−4ac =(−2) 2−4•4•(−6)=100 ;

x 1 =

−b+√ D

2+√ 100

2•4

=1,5 ;

x 2 =

−b−√ D

2−√ 100

2•4

=−1 ;

важно, сделаем проверку полученных корней, подставив их
в изначальное иррациональное уравнение √ 2x+6=2x ;

x 1=1,5 ⇒ √ 2•1,5+6=2•1,5 ⇒ √ 9=3 ⇒ 3=3 ;

x 2=−1 ⇒ √ 2•(−1)+6=2•(−1) ⇒ √ 4=−2 ⇒ 2≠−2 ;

так как при x 2=−1 получается неверное равенство √ 4=−2 ,
то остается только один корень x=1,5 .

Ответ: x=1,5 .

Решим второе иррациональное уравнение:

√ 3x+4+x=0 ;

перенесем x в правую часть уравнения изменив знак;

√ 3x+4=−x ;

возведем в квадрат обе части уравнения, чтобы избавиться от знака корня;

(√ 3x+4) 2=(−x) 2 ⇒ 3x+4=x 2 ;

перенесем 3x+4 в правую часть уравнения изменив знак;

0=x 2−3x−4 ⇒ x 2−3x−4=0 ;

найдем корни квадратного уравнения x 2−3x−4=0 ;

D =b 2−4ac =(−3) 2−4•1•(−4)=25 ;

x 1 =

−b+√ D

3+√ 25

=4 ;

x 2 =

−b−√ D

3−√ 25

=−1 ;

сделаем проверку полученных корней, подставив их
в изначальное иррациональное уравнение √ 3x+4+x=0 ;

x 1=4 ⇒ √ 3•4+4+4=0 ⇒ √ 16+4=0 ⇒ 8≠0 ;

x 2=−1 ⇒ √ 3•(−1)+4−1=0 ⇒ √ 1−1=0 ⇒ 0=0 ;

так как при x 1=4 получается неверное равенство √ 16+4=0 ,
то остается только один корень x=−1 .

Ответ: x=−1 .

предыдущая тема

следующая тема

11. Иррациональные уравнения. Правила

Задачи на тему "Иррациональные уравнения"