37. Свойства действий с рациональными числами. Правила
Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если
а ,
b и
c — любые рациональные числа, то
а + b = b + а ,
а + (b + с) = (а + b) + с .
Например:
1
3
+
5
17
+
2
3
= (
1
3
+
2
3
) +
5
17
= 1 +
5
17
= 1
5
17
;
5
13
+
2
21
– 1
5
13
=
2
21
+ (
5
13
– 1
5
13
) =
2
21
+ (– 1) = – (
21
21
–
2
21
) = –
19
21
.
Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем:
а + 0 = а ,
а + (– а) = 0 .
Например:
1
4
+ 0 =
1
4
;
5
13
+ (–
5
13
) = 0 .
Умножение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Если,
а ,
b и
c рациональные числа, то:
ab = ba ,
a(bc) = (ab)c .
Например:
13
15
•
5
17
• 1
2
13
= (
13
15
•
15
13
) •
5
17
= 1 •
5
17
=
5
17
;
5
7
• 5
3
11
:
5
7
=
5
7
:
5
7
• 5
3
11
= 1 • 5
3
11
= 5
3
11
.
Умножение на
1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно
1 . Значит, для любого рационального числа а имеем:
а • 1 = а ;
5
23
• 1 =
5
23
;
а • 1/a = 1 ,
если а ≠ 0 ;
5
23
•
23
5
= 1 .
Умножение числа на
нуль дает в произведении
нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:
а • 0 = 0 ;
4
19
• 0 = 0 .
Произведение может быть равно
нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен
нулю:
если а • b = 0 ,
то либо а = 0 ,
либо b = 0 (может случиться, что и а = 0 ,
и b = 0 ) .
Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел
а ,
b и
c имеем: