Тождества. Тождественные преобразования
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Метод выделения полного квадрата   Числовые множества на координатной прямой


 приступить к решению задач




29. Тождества. Тождественные преобразования . Правила



          Тождество — это равенство верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных. 

Вы уже познакомились со множеством тождеств, например, формулы сокращенного умножения: 

                            a 2−b 2   =   (a−b)(a+b) ; 

                            a 2−2ab+b 2   =   (a−b) 2 ; 

                            a 2+2ab+b 2   =   (a+b) 2     и др.   



         Всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения. 

          Для тождественных преобразований можно использовать формулы 
сокращенного умножения, законы арифметики и др. тождества. Например, 
вынесение общего множителя за скобку и формулу разность квадратов, как в примере ниже: 

                        x 3−xy 2     =     x(x 2−y 2)     =     x(x−y)(x+y) . 

          Приведенные выше алгебраические выражения тождественно равны 
друг другу и обращаются в верное числовое равенство при любых 
значениях переменных   x   и   y .   



          Выполним тождественные преобразования и сократим 
алгебраическую дробь  
x 3−x
x 2−x
 .   


         
x 3−x
x 2−x
    =    
x(x 2−1)
x(x−1)
    =    
x(x−1)(x+1)
x(x−1)
    =     (x+1) ;   


                             
x 3−x
x 2−x
    =       (x+1) .   



          Мы получили тождество, при   х ≠ 0   и   х ≠ 1 (недопустимые значения) , 
так как знаменатель левой части не должен быть равен нулю. 

                    x 2−x≠0 ;             x(x−1)≠0 ;             х≠0   и   х≠1 .   



         Чтобы доказать тождество надо выполнить тождественные 
преобразования одной или обеих частей равенства, и получить слева 
и справа одинаковые записи алгебраических выражений. 

          Например, докажем тождество: 

           
x 3−x
x 2−x
    =      
x 2+x
x
 

           
x(x 2−1)
x(x−1)
    =      
x(x+1)
x
              — вынесли   х   за скобки ; 

             
x 2−1 2
x−1
    =       x+1                     —   сократили на   х ; 

             
(x−1)(x+1)
x−1
    =       x+1       — разность квадратов ; 

              x+1     =       x+1                         —   сократили на   x−1 .   


        Данное равенство является тождеством, при   х≠0   и   х≠1.   



         Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, 
достаточно найти одно допустимое значение переменной, при которой
получившиеся числовые выражения будут не равны друг другу. 

          Например: 

           
x 2−x
x
    =      
x 2+x
x
                  —   х≠0 ; 

              x−1     =       x+1                       —   сократим на   х   для удобства ; 

              5−1     ≠       5+1                     —   подставим, например   5 .   


        Данное равенство не является тождеством.   


приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Тождества. Тождественные преобразования "



Упростите выражения.
 
1)            
x2−6x+5
x−1
+5   =    
  ;                   2)            
x2+6x+5
x+1
−5   =    
  .
 
 
 
Тождественны ли выражения   1   и   2 ?        Если да, то при каких условиях?
 
     Нет, не тождественны.

     Да,  тождественны при любых значениях переменной х.

     Да,  тождественны при  х ≠ 1   и   х ≠  –1     .

     Да,  тождественны при    х ≠ 0     и   х ≠ 1  .


 
 





Упростите выражения.
 
1)            
x2−2x−3
x+1
+2   =    
  ;                   2)            
x2−x−2
x−2
−2   =    
  .
 
 
 
Тождественны ли выражения   1   и   2 ?        Если да, то при каких условиях?
 
     Нет, не тождественны.

     Да,  тождественны при любых значениях переменной х.

     Да,  тождественны при  х ≠ 1   и   х ≠  –2    .

     Да,  тождественны при    х ≠ –1     и   х ≠ 2  .


 
 





Выберите тождества и записи с недопустимыми значениями переменных.
 
 
 
   
x2−1
x−1
   =  
3x2−3
3x+3
+3  ;            
x2−1
x−1
   =  
2x2−2
2x+2
+2  ;            
x2−1
x−1
   =  
5x2−5
5x+5
+2  ;

 
4x2−4
2x+2
   =  
3x2−3
3x−3
−3  ;          
4x2−4
2x+2
   =  
8x2−8
4x−4
−4  ;            
4x2−4
2x+2
   =  
10x2−10
5x−5
−4  ;

     при    x≠0    и    x≠1  ;            при     x≠1   и   x≠−1 ;         при    x≠0    и    x≠−1  .


 
 





Упростите выражения.
 
1)            
3−5a−2a2
a2−9
•(a−3)   =    
  ;                   2)            
5−9a−2a2
a+5
   =    
  .
 
 
 
Тождественны ли выражения   1   и   2 ?        Если да, то при каких условиях?
 
     Нет, не тождественны.

     Да,  тождественны при любых значениях переменной a.

     Да,  тождественны при  a ≠ 3   и   a ≠  – 5     .

     Да,  тождественны при   a ≠ 3 ,   a ≠  – 3   и   a ≠  – 5   .