Школьный помощник
Вы вошли как гость
   
header
Метод выделения полного квадрата Числовые множества
 приступить к решению задач




29. Тождества. Тождественные преобразования . Правила



          Тождество — это равенство верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных. 

Вы уже познакомились со множеством тождеств, например, формулы сокращенного умножения: 

                            a 2b 2   =   (ab)(a+b)

                            a 22ab+b 2   =   (ab) 2

                            a 2+2ab+b 2   =   (a+b) 2
    и др.   



         Всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения. 

          Для тождественных преобразований можно использовать формулы 
сокращенного умножения, законы арифметики и др. тождества. Например, 
вынесение общего множителя за скобку и формулу разность квадратов, как в примере ниже: 

                        x 3xy 2     =     x(x 2y 2)     =     x(xy)(x+y)

          Приведенные выше алгебраические выражения тождественно равны 
друг другу и обращаются в верное числовое равенство при любых 
значениях переменных   x   и   y .   



          Выполним тождественные преобразования и сократим 
алгебраическую дробь  
x 3x
x 2x
.   


         
x 3x
x 2x
    =    
x(x 21)
x(x1)
    =    
x(x1)(x+1)
x(x1)
    =     (x+1) ;   


                             
x 3x
x 2x
    =       (x+1) .   




          Мы получили тождество, при   х ≠ 0   и   х ≠ 1 (недопустимые значения)
так как знаменатель левой части не должен быть равен нулю. 

                    x 2x0 ;             x(x1)0 ;             х0   и   х1 .   



         Чтобы доказать тождество надо выполнить тождественные 
преобразования одной или обеих частей равенства, и получить слева 
и справа одинаковые записи алгебраических выражений. 

          Например, докажем тождество: 

           
x 3x
x 2x
    =      
x 2+x
x
 

           
x(x 21)
x(x1)
    =      
x(x+1)
x
              — вынесли   х   за скобки ; 

             
x 21 2
x1
    =       x+1
                    —   сократили на   х

             
(x1)(x+1)
x1
    =       x+1
      — разность квадратов ; 

              x+1     =       x+1                         —   сократили на   x1 .   


        Данное равенство является тождеством, при   х0   и   х1.   



         Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, 
достаточно найти одно допустимое значение переменной, при которой
получившиеся числовые выражения будут не равны друг другу. 

          Например: 

           
x 2x
x
    =      
x 2+x
x
                  —   х0

              x1     =       x+1                       —   сократим на   х   для удобства ; 

              51           5+1                     —   подставим, например   5 .   


        Данное равенство не является тождеством.   


Задачи на тему "Тождества. Тождественные преобразования "



Упростите выражения.
 
1)            
x26x+5
x1
+5
  =    
  ;                   2)            
x2+6x+5
x+1
5
  =    
  .
 
 
 
Тождественны ли выражения   1   и   2 ?        Если да, то при каких условиях?
 
     Нет, не тождественны.

     Да,  тождественны при любых значениях переменной х.

     Да,  тождественны при  х ≠ 1   и   х ≠  –1     .

     Да,  тождественны при    х ≠ 0     и   х ≠ 1  .



 
 





Упростите выражения.
 
1)            
x22x3
x+1
+2
  =    
  ;                   2)            
x2x2
x2
2
  =    
  .
 
 
 
Тождественны ли выражения   1   и   2 ?        Если да, то при каких условиях?
 
     Нет, не тождественны.

     Да,  тождественны при любых значениях переменной х.

     Да,  тождественны при  х ≠ 1   и   х ≠  –2    .

     Да,  тождественны при    х ≠ –1     и   х ≠ 2  .



 
 





Выберите тождества и записи с недопустимыми значениями переменных.
 
 
 
   
x21
x1
  =  
3x23
3x+3
+3
 ;      
     
x21
x1
  =  
2x22
2x+2
+2
 ;      
     
x21
x1
  =  
5x25
5x+5
+2
 ;


 
4x24
2x+2
  =  
3x23
3x3
3
 ;      
   
4x24
2x+2
  =  
8x28
4x4
4
 ;      
     
4x24
2x+2
  =  
10x210
5x5
4
 ;


     при    x0    и    x1  ;            при     x1   и   x1 ;         при    x0    и    x1  .



 
 





Упростите выражения.
 
1)            
35a2a2
a29
(a3)
  =    
  ;                   2)            
59a2a2
a+5
  =    
  .
 
 
 
Тождественны ли выражения   1   и   2 ?        Если да, то при каких условиях?
 
     Нет, не тождественны.

     Да,  тождественны при любых значениях переменной a.

     Да,  тождественны при  a ≠ 3   и   a ≠  – 5     .

     Да,  тождественны при   a ≠ 3 ,   a ≠  – 3   и   a ≠  – 5   .



 
 




приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема