Сложение и вычитание алгебраических дробей 8 класс
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Основное свойство алгебраической дроби   Умножение, деление и возведения в степень алгебраических дробей


 приступить к решению задач




2. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Правила



          Сложение и вычитание алгебраических дробей c одинаковыми
знаменателями выполняется по тому же правилу, что и с обыкновенными
дробями:

                                       
а
d
 +
b
d
 –
c
d
     =    
a+b−c
d
 . 

Т. e. составляют соответствующую алгебраическую сумму числителей,
а знаменатель оставляют без изменений, по сути, мы выносим общий
множитель  
1
d
   за скобку.

   
а
d
 +
b
d
 –
c
d
     =    
1
d
 • a +
1
d
 • b –
1
d
 • c     =    
1
d
 • (a+b−c)     =    
a+b−c
d
 .

          Пример 1.

              Выполнить действия:   A   =  
x 2
y 2
 +
2x
y 2
 –
3
y 2
 .

          Решение.

              общий множитель   —  
1
y 2
:

    A     =    
x 2
y 2
   +  
2x
y 2
   –  
3
y 2
       =     x 2•
1
y 2
     +   2x•
1
y 2
     –   3•
1
y 2
     =

        =     (x 2+2x−3)•
1
y 2
       =    
x 2+2x−3
y 2
 .

Областью определения выражения   A   являются все рациональные числа,
кроме   y = 0   ( y 2 ≠ 0     ⇒   y ≠ 0 ). 

          О т в е т :   A   =  
x 2+2x−3
y 2
   при   y ≠ 0   и   x ∈ (- ∞; + ∞) .




          Пример 2.

                Выполнить действия:   B   =  
x 2
x−3
 +
4x−2x 2
x−3
 –
3x−x 2+3
x−3
 .


          Решение.

                Применив правило сложения и вычитания алгебраических дробей,
                а затем основное св-во алг. дроби, получим:

     
x 2
x−3
 +
4x−2x 2
x−3
 –
3x−x 2+3
x−3
     =    
x 2+(4x−2x 2)−(3x−x 2+3)
x−3
 =

=  
x 2+4x−2x 2−3x+x 2−3
x−3
     =    
(x 2−2x 2+x 2)+(4x−3x)−3
x−3
   =

=  
x−3
x−3
     =    
(x−3):(x−3)
(x−3):(x−3)
     =    
1
1
     =     1 .

Областью определения выражения   B   являются все рациональные числа
кроме   3   ( x – 3 ≠ 0     ⇒   x ≠ 3 ).

          О т в е т :   B = 1   при   x ≠ 3   или   x ∈ (- ∞; 3) U (3; + ∞) .




          Чтобы сложить или вычесть алгебраические дроби с разными знаменателями надо:

             • привести все дроби к общему знаменателю;

             • выполнить сложение (вычитание) полученных дробей
                с одинаковыми знаменателями.



            Пример 3.

                  Выполнить действия:   C   =  
x
x−1
 +
x−2
x+1
 –
4−2x
x 2−1
 .


            Решение.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на   x+1 ,   а второй на   x−1;

x
x−1
   +
x−2
x+1
   –
4−2x
x 2−1
   =  
x(x+1)
(x−1)(x+1)
 +
(x−2)(x−1)
(x+1)(x−1)
   –
4−2x
x 2−1
 = 

выполним сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями,   x 2−1;

=  
x 2+x
x 2−1
 +
x 2−3x+2
x 2−1
   –
4−2x
x 2−1
   =  
x 2+x+x 2−3x+2−4+2x
x 2−1
   =

вынесем за скобку   2   в числителе и сократим дробь на   x 2−1; 

=      
2x 2−2
x 2−1
     =      
2(x 2−1)
x 2−1
     =     2 .

Областью определения выражения   С   являются все рациональные числа кроме   1   и   – 1.

( x – 1 ≠ 0   ⇒   x ≠ 1 );   ( x + 1 ≠ 0   ⇒   x ≠ – 1 );   ( x 2 – 1 ≠ 0   ⇒   x ≠ 1 и x ≠ – 1 ).


      О т в е т :   С = 2   при   x ≠ – 1   и   x ≠ 1 ,
                            или   при   x ∈ (– ∞; – 1) U (– 1; 1) U (1; + ∞) .


приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Сложение и вычитание алгебраических дробей"



Выполните сложение вычитание  и упрощение алгебраических дробей:
 
 
 
 
 
1)      
5x2
x+5
   –  
6x2−3x−30
x+5
     –  
5−2x2−7x
x+5
       =      
 ,     при      х   ≠    
;
 
 
 
2)      
7x2−4x
2x−5
   –  
x2+3x+30
2x−5
     –  
2x2−7x−5
2x−5
       =    
 ,     при       х   ≠    
.


 
 





Выполните сложение вычитание  и упрощение алгебраических дробей:
 
 
 
 
 
1)      
a2
a−2
   –  
a2
a+2
     –  
16
a2−4
       =      
 ,     при      a   ≠    
    и     a   ≠    
;
 
 
 
2)      
x
x+3
   +  
3x
x+3
   +  
12x+36
x2+6x+9
       =    
 ,     при      х   ≠    
  .


 
 





Выполните сложение вычитание  и упрощение алгебраических дробей:
 
 
 
 
1)      
2x2−23
x−5
   –  
10x2+27x−115
x2−25
       =    
   ,     при      x   ≠    
    и     x   ≠    
;
 
 
 
 
 
2)      
2x+5
3x+2
   +  
x−4
3x+2
   –  
3x+2
9x2+12x+4
   =    
  .


 
 





   Выполните сложение вычитание  и упрощение алгебраических дробей:


          A   =    
2x2−3y2
3x−2y
   –  
12x3−10x2y−18y2x−4y3
18x2−8y2
       =    
  .


  Выберите значение выражения   А    при     х   =  4000      и      у  =   6000 ,


     4000  ;        6000  ;        12000  ;        не имеет смысла.


  Выберите значение выражения   А    при     х   =  3000      и      у  =   6000 ,

     3000  ;        6000  ;        9000  ;          не имеет смысла.



 
 





   Выполните сложение вычитание  и упрощение алгебраических дробей:

    B   =    
9a2−12b2
9a+6b
   –  
9a3+3a2b−12b2a+4b3
9a2−4b2
     =    
  .


  Выберите значение выражения   B    при     a   =  –222      и      b  =   333 ,

     222;          333;          444;          – 222;          – 333;          – 444;          не имеет смысла.


  Выберите значение выражения   B    при     a   =  111      и      b  =   333 ,

 111;        222;        333;        – 111;        – 222;        – 333;          не имеет смысла.