Школьный помощник
Вы вошли как гость
   
header
Разложение на множители с помощью формул куб суммы и куб разности, сумма кубов и разность кубов Метод выделения полного квадрата
 приступить к решению задач




27. Разложение многочлена на множители комбинацией различных способов. Правила



         В предыдущих темах были использованы различные способы 
разложения многочлена на множители. Однако часто каждый из этих 
способов в отдельности не приводит к достижению цели, и для 
разложения многочлена на множители приходится пользоваться 
их комбинацией. 

          Напомним формулы: 

                      a 2+2ab+b 2   =   (a+b) 2
    —   квадрат суммы   (1)

                        a 22ab+b 2   =   (ab) 2     —   квадрат разности   (2)

                      a 2b 2   =   (a+b)(ab)     —   разность квадратов   (3) .   



        Примеры их применения:   


              x 2+2xy 2+y 4     =     x 2+2xy 2+(y 2) 2     =     (x+y 2) 2
  (1) ;   


              x 62x 3y 2+y 4     =     (x 3) 2-2x 3y 2+(y 2) 2     =     (x 3y 2) 2
  (2) ;   


              (2x+3y) 2x 2y 2       =       (2x+3y) 2(xy) 2       = 

                    =         (2x+3y+xy)(2x+3yxy)
    (3) .     





          Пример 1         (квадрат суммы + разность квадратов). 

        Разложим на множители многочлен     x 2z 2 + 2xy + y 2 .   


        Решение.
      Сгруппируем первый, третий и четвёртый члены: 

                  x 2z 2 + 2xy + y 2     =     (x 2 + 2xy + y 2)   –   z 2     = 

                              применим формулу квадрат суммы 

                    =     (x+y) 2   –   z 2   = 

                              применим формулу разность квадратов 

                    =     ( (x + y)   –   z )   ( (x + y)   +   z )       =     ( x + y – z) (x + y + z) .   




          Пример 2       ( квадрат разности + разность квадратов). 

        Сократим алгебраическую дробь    
x 2x 2y 22xy+y 2
xyxy
.   


        Решение. 

                  Cгруппируем первый, третий и четвёртый члены в числителе: 

                     
x 2x 2y 22xy+y 2
xyxy
        =    
(x 22xy+y 2)x 2y 2
xyxy
    = 


                    применим формулу квадрат разности

                        =    
(xy) 2x 2y 2
xyxy
    =    
(xy) 2(xy) 2
xyxy
    = 


                    применим формулу разность квадратов и сократим дробь 

                        =    
(xy+xy)(xyxy)
xyxy
    =     xy+xy
  .   


        Ответ

                     
x 2x 2y 22xy+y 2
xyxy
    =     xy+xy .   





          Пример 3 

        (вынесение общего множителя + квадрат разности + разность квадратов). 

        Сократим алгебраическую дробь    
3x 43z 26x 2y+3y 2
3x 23y3z
.   


          Решение. 

                    В числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель   3

               
3x 43z 26x 2y+3y 2
3x 23y3z
    =    
3(x 4z 22x 2y+y 2)
3(x 2yz)
    = 


                  разделим числитель и знаменатель на   3 

                        =    
x 4z 22x 2y+y 2
x 2yz
    = 


                  cгруппируем первый, третий и четвёртый члены в числителе: 

                =    
(x 42x 2y+y 2)z 2
x 2yz
    =    
((x 2) 22x 2y+y 2)z 2
x 2yz
    = 


                    применим формулу квадрат суммы 

                        =    
(x 2y) 2z 2
x 2yz
    = 


                    применим формулу разность квадратов и сократим дробь 

                        =    
(x 2y+z)(x 2yz)
x 2yz
    =     x 2y+z   .   


          Ответ : 

                     
3x 43z 26x 2y+3y 2
3x 23y3z
    =     x 2y+z
.   



Задачи на тему "Разложение многочлена на множители комбинацией различных способов"



Упростите алгебраические дроби:
 
 
 
1)        
x4x2y2+2x2y+y2
x2xy+y
    =    
    ^   
;
 
 
 
2)        
x44x2+2x2y2+y4
x22x+y2
    =    
    ^   
.


 
 





Упростите алгебраические дроби:
 
 
 
 
 
1)        
x42x3y+x2y2z4
x2xyz2
    =    
    ^   
;
 
 
 
 
2)          
9x424x3y+16x2y24z4
3x22z24xy
      =    
    ^   
.


 
 





Упростите алгебраические дроби:  
 
 
 
 
1)        
(5a4b)2(2a+7b)2
3a11b
      =          
    ^   
  ;
 
 
 
 
2)      
9(2a4b)24(a+b)2
2a7b
      =          
    ^   
    .


 
 





Упростите алгебраические дроби:  
 
 
 
 
1)        
(7a2b)2(3a+4b)2
8a12b
      =          
    ^   
  ;
 
 
 
 
2)      
(9ab)2(6a+7b)2
9a24b
      =          
    ^   
    .


 
 





Упростите алгебраические дроби:
 
 
 
 
 
1)      
81x2+108xy+36y29
27x+18y9
    =    
    ^   
;
 
 
 
 
2)          
4x68x4y+4x2y216
4x34xy8
        =    
    ^   
.


 
 




приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема