Школьный помощник
Вы вошли как гость
   
header
Умножение и деление алгебраических дробей  8 класс Решение рациональных уравнений
 приступить к решению задач




4. Преобразование рациональных выражений. Правила



         Рациональное выражение — это любое выражение, составленное из чисел, буквенных переменных, арифметических операций и возведения в степень. 

Например:   

      5 ;        
1
2
x 2
;       3x 2y+y 3 ;    
27x 38y 3
5
;     – 64x 3y 3125y 3z 3
;   

   
5y
x 21
;    
x 2
y 2
;
   
x 3y 3+27x 3
x 2y 29x 2
;    
27x 38y 3
1y 2
;     –
64x 3y 3+125y 3z 3
x 3y 3+y 3z 3
.


        Все приведенные выражения являются рациональными. Выражения 
в первой строчке являются и рациональными и целыми алгебраическими 
выражениями. Они имеют смысл при любых значениях переменных, 
в отличие от выражений во второй строчке. Например, 
выражение  
5y
x 21
  теряет смысл при   х = 1   и   х = –1 
(делить на нуль нельзя), значит, оно рациональное и дробное 
(деление на выражение с переменной).   




         Упрощение рациональных выражений — это применение 
тождественных преобразований, с целью упростить запись выражения 
(сделать его короче и удобнее для дальнейшей работы).   

        Для преобразования рациональных выражений нам потребуются 
навыки, полученные при изучении трех предыдущих тем, и формулы сокращенного умножения. 

                            a 2b 2   =   (ab)(a+b)
                            (ab) 2   =   a 22ab+b 2
                            (a+b) 2   =   a 2+2ab+b 2
                            a 3b 3   =   (ab)(a 2+ab+b 2)
                            a 3+b 3   =   (a+b)(a 2ab+b 2)
                            (a+b) 3   =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3
                            (ab) 3   =   a 33a 2b+3ab 2b 3 .   





              Пример 1. 
          Упростите выражение  
x 21
x+1
1
  и найдите его значения при: 
                  1)   х   =   5 ;         2)   х   =   3 ;       3)   х   =   –1 . 

            Решение. 


        Не будем приводить слагаемые к общему знаменателю, сначала 
упростим дробь.   Ее числитель — это разность квадратов 
( x 21=x 21 2 ). 

                 
x 21
x+1
1
=  
(x1)(x+1)
x+1
1
=
  (сокращаем на x+1); 

                    =   (x1)1   =   х2

        1)   Найдем значение выражения при   х = 5     ⇒     x – 2   =   5 – 2   =   3
        2)   при   х = 3       ⇒     x – 2   =   3 – 2   =   1
        3)   при   х = –1       не будем спешить, 
                нам надо найти значение выражения  
x 21
x+1
1

                мы для удобства используем тождественное ему выражение   x – 2, 
                но изначальное выражение при х = –1 лишится смысла
                (деление на нуль), значит, правильный ответ —
                при   х = –1   выражение не имеет смысла.   



              Пример 2. 
          Упростите выражение   (
4x 29
2x+3
  –  
4x 2+12x+9
2x3
)
  :  
24x
2x 23x
  = . 

            Решение: 


      1)   упростим первую дробь,
4x 29
2x+3
  =  
(2x3)(2x+3)
2x+3
  =  
2x3
1
;   


      2)   приведем её к знаменателю 2x3 и умножим разность на дробь, 
            обратную делителю; 


      =         (
(2x3) 2
2x3
  –  
4x 2+12x+9
2x3
)
  •  
2x 23x
24x
      = 


      3)   выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, 
              предварительно использовав формулу квадрат разности; 


      =         (
(4x 212x+9)(4x 2+12x+9)
2x3
)
  •  
2x 23x
24x
      = 


      4)   выполним умножение дробей, и сократим результат на   24x(2x3) ;   


      =        
24x
2x3
  •  
2x 23x
24x
      =      
24xx(2x3)
(2x3)24x
      =     – x .   




Задачи на тему "Преобразование рациональных выражений"



Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
 
1)          
ba
5
  :    
a
5
    –    
ab+b2
ab
        =        
  ;
 
 
 
2)          
y+x
x
    –    
xy
x3
  •  
x3x2y
yx
        =        
  .


 
 





Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
 
1)        
y2
x+1
    •    
1x2
y1
    –    
1xy2
y1
      =        
  ;
 
 
 
2)        
a
ab+b
    •    
ba2b
aba
    –    
b2a
b1
        =        
  .


 
 





Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
1)          
x2
x
    •    (x+
x
2x
)
      =      
  ;
 
 
 
2)         (
4x23
x21
  +  
4
x1
)
  •  
x21
2x+1
        =      
  .


 
 





Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
а)    (
3a+1
3a1
  –  
3a1
3a+1
)
  :  
4a
15a+5
      =          
  ;
 
 
 
б)      
x+3
4
  •   (
x+3
x3
–  
x3
x+3
)
      =        
  .


 
 





Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
 
 
 
1)             (
xy
y2
1
xy
)
(
xy2
x1
xy2
x+1
)
      =      
  ;
 
 
 
2)            (
1
y2
2
xy
+
1
x2
)
(
x2y
xy
x2y
x+y
)
      =      
  .


 
 





Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
 
1)         (
xy+y2
3
  :    
y3
3x
  +  
x+y
y
)
  •  
y3
x2yy3
      =      
  ;
 
 
 
 
2)        (
b2a2
5a
  :    
b
15a
  –  
a2b2
b
)
  •  
b
2a2b
      =      
  .


 
 




приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема