Преобразование рациональных выражений
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Умножение, деление и возведения в степень алгебраических дробей   Решение рациональных уравнений


 приступить к решению задач




4. Преобразование рациональных выражений. Правила



         Рациональное выражение — это любое выражение, составленное из чисел, буквенных переменных, арифметических операций и возведения в степень. 

Например:   

      5 ;        
1
2
x 2 ;       3x 2y+y 3 ;    
27x 3−8y 3
5
;     – 64x 3y 3−125y 3z 3 ;   

   
5y
x 2−1
;    
x 2
y 2
;    
x 3y 3+27x 3
x 2y 2−9x 2
;    
27x 3−8y 3
1−y 2
;     –
64x 3y 3+125y 3z 3
x 3y 3+y 3z 3
.

        Все приведенные выражения являются рациональными. Выражения 
в первой строчке являются и рациональными и целыми алгебраическими 
выражениями. Они имеют смысл при любых значениях переменных, 
в отличие от выражений во второй строчке. Например, 
выражение  
5y
x 2−1
  теряет смысл при   х = 1   и   х = –1 
(делить на нуль нельзя), значит, оно рациональное и дробное 
(деление на выражение с переменной).   



         Упрощение рациональных выражений — это применение 
тождественных преобразований, с целью упростить запись выражения 
(сделать его короче и удобнее для дальнейшей работы).   

        Для преобразования рациональных выражений нам потребуются 
навыки, полученные при изучении трех предыдущих тем, и формулы сокращенного умножения. 

                            a 2−b 2   =   (a−b)(a+b) ; 
                            (a−b) 2   =   a 2−2ab+b 2 ; 
                            (a+b) 2   =   a 2+2ab+b 2 ; 
                            a 3−b 3   =   (a−b)(a 2+ab+b 2) ; 
                            a 3+b 3   =   (a+b)(a 2−ab+b 2) ; 
                            (a+b) 3   =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 ; 
                            (a−b) 3   =   a 3−3a 2b+3ab 2−b 3 .   




              Пример 1. 
          Упростите выражение  
x 2−1
x+1
−1   и найдите его значения при: 
                  1)   х   =   5 ;         2)   х   =   3 ;       3)   х   =   –1 . 

            Решение. 

        Не будем приводить слагаемые к общему знаменателю, сначала 
упростим дробь.   Ее числитель — это разность квадратов 
( x 2−1=x 2−1 2 ). 

                 
x 2−1
x+1
−1 =  
(x−1)(x+1)
x+1
−1 =   (сокращаем на x+1); 

                    =   (x−1)−1   =   х−2 . 

        1)   Найдем значение выражения при   х = 5     ⇒     x – 2   =   5 – 2   =   3 ; 
        2)   при   х = 3       ⇒     x – 2   =   3 – 2   =   1 ; 
        3)   при   х = –1       не будем спешить, 
                нам надо найти значение выражения  
x 2−1
x+1
−1, 
                мы для удобства используем тождественное ему выражение   x – 2, 
                но изначальное выражение при х = –1 лишится смысла
                (деление на нуль), значит, правильный ответ —
                при   х = –1   выражение не имеет смысла.   



              Пример 2. 
          Упростите выражение   (
4x 2−9
2x+3
  –  
4x 2+12x+9
2x−3
)   :  
24x
2x 2−3x
  = . 

            Решение: 

      1)   упростим первую дробь,
4x 2−9
2x+3
  =  
(2x−3)(2x+3)
2x+3
  =  
2x−3
1
;   


      2)   приведем её к знаменателю 2x−3 и умножим разность на дробь, 
            обратную делителю; 

      =         (
(2x−3) 2
2x−3
  –  
4x 2+12x+9
2x−3
)   •  
2x 2−3x
24x
      = 

      3)   выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, 
              предварительно использовав формулу квадрат разности; 

      =         (
(4x 2−12x+9)−(4x 2+12x+9)
2x−3
)   •  
2x 2−3x
24x
      = 

      4)   выполним умножение дробей, и сократим результат на   24x(2x−3) ;   


      =        
−24x
2x−3
  •  
2x 2−3x
24x
      =      
−24x•x•(2x−3)
(2x−3)•24x
      =     – x .   



приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Преобразование рациональных выражений"



Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
 
1)          
b−a
5
   :    
a
5
     –    
ab+b2
ab
         =        
  ;
 
 
 
2)          
y+x
x
     –    
x−y
x3
   •  
x3−x2y
y−x
         =        
  .


 
 





Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
 
1)        
y2
x+1
     •    
1−x2
y−1
     –    
1−xy2
y−1
       =        
  ;
 
 
 
2)        
a
ab+b
     •    
b−a2b
ab−a
     –    
b2−a
b−1
         =        
  .


 
 





Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
1)          
x−2
x
     •    (x+
x
2−x
)       =      
  ;
 
 
 
2)         (
4x2−3
x2−1
   +  
4
x−1
)   •  
x2−1
2x+1
         =      
  .


 
 





Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
а)    (
3a+1
3a−1
   –  
3a−1
3a+1
)   :  
4a
15a+5
       =          
  ;
 
 
 
б)      
x+3
4
   •   (
x+3
x−3
 –  
x−3
x+3
)       =        
  .


 
 





Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
 
 
 
1)             (
xy
y2
−
1
xy
)•(
xy2
x−1
−
xy2
x+1
)       =      
  ;
 
 
 
2)            (
1
y2
−
2
xy
+
1
x2
)•(
x2y
x−y
−
x2y
x+y
)       =      
  .


 
 





Преобразуйте (упростите) рациональные выражения:
 
 
 
1)         (
xy+y2
3
   :    
y3
3x
   +  
x+y
y
)   •  
y3
x2y−y3
       =      
  ;
 
 
 
 
2)        (
b2−a2
5a
   :    
b
15a
   –  
a2−b2
b
)   •  
b
2a−2b
       =      
  .