Школьный помощник
Вы вошли как гость
   
header
Числовые и алгебраические выражения Линейное уравнение с одной переменной
 приступить к решению задач




2. Математический язык. Тождества. Правила



         Мы уже не раз встречали записи, написанные 
на математическом языке. Например: 

                      мат. яз.                             рус. яз. 
                      2(a + b)   — удвоенная сумма двух чисел, a и b;   

        Обратите внимание, что математический язык от русского, отличает 
краткость и ясность. 


          Приведем еще примеры математических записей и их аналогов на 
русском языке:   


  (a – b)2       — половина квадрата разности двух чисел   a   и   b
2

            (a – b)2 : 2   — также половина квадрата разности двух чисел   a   и  b

        Мы видим, что одно и то же выражение, на математическом языке 
можно, как на русском, записать разными способами. Вот вам третий 
вариант, этого же выражения.   


1   •  (a – b)2       — одна вторая квадрата разности двух чисел   a   и   b
2



         Если приведенные выше выражения, мы обозначим как A, B и С.   

        A   =     (a – b)2         B   =   (a – b)2 : 2         C   =   1   •  (a – b)2
2 2


        Мы можем утверждать, что A = B = С, так как эти выражения равны 
при любых значениях переменных.   

                      при   a = 15, b = 11;       A = 8;     B = 8;     C = 8; 
                      при   a = 3,   b = 1;         A = 2;     B = 2;     C = 2; 
                      при   a = 9,   b = 3;         A = 18;   B = 18;   C = 18;   и т. д.   

          Еще говорят, что эти выражения ( A, B и C ) тождественны или тождественно равны друг другу.   

          Тождество — это равенство двух отличных по записи, но имеющих одинаковое значение, выражений, при любых переменных из их области определения.   

  (a – b)2     =     (a – b)2 : 2       —  верное тождество
2


        Чтобы установить, что равенство не является тождеством, достаточно указать такие значения переменных, из их области определения, при котором выражения не равны друг другу.   

    Например:               A = x • 4 + 1;             B = x + 4;   

  несмотря на то, что при x = 1;       A = 1 • 4 + 1 = 4 + 1 =   5;         B = 1 + 4 =   5;   
                                          при x = 2;       A = 2 • 4 + 1 = 8 + 1 =   9;         B = 2 + 4 =   6;   

значит выражения   A = x • 4 + 1;     и     B = x + 4;   — не тождественны друг другу.   



          Тождественное преобразование — это преобразование 
выражения в другое, тождественно равное ему. 

        Многие тождественные преобразования вы уже знаете. Например: 

      мат. яз.         рус. яз.

  a • a  =  a2     — квадрат числа
  a • a • a  =  a • a2  =  a3     — куб числа
  a + b = b + a     — от перемены мест слагаемых сумма не изменится
  (a + b) + c = a + (b + c)     — сочетательное свойство сложения

  аb = ba     — от перемены мест множителей произведение
         не изменится
  (ab)c = a(bc)     — сочетательное свойство умножения

  a(b + c) = ab + ac     — распределительный закон умножения
  5a + 6a = 11a     — приведение подобных слагаемых

  a - (b + c) = a - b - c     — раскрытие скобок (минус перед скобками
         меняет знаки слагаемых)

a     =     a • k     ( k ≠ 0 )    
b b • k

    —   основное свойство дроби

a     =     a : k     ( k ≠ 0 )    
b b : k

    —   основное свойство дроби

a   •  n   =   an
b b

    —   умножение дроби на число

a   :  n   =    a
b bn

    —   деление дроби на число

a   •   a1   =   aa1
b b1 bb1

    —   произведение двух дробей

a   :   a1   =   ab1
b b1 ba1

    —   деление дроби на дробь



Задачи на тему "Математический язык. Тождества"



Выберите алгебраические выражения, соответствующие выражениям на русском языке.

Полусумма чисел m и n.

1)     ( n + m )  •  0,2  

2)    
(n+m)2
6
   


3)    
n+m
2
   


 
 




Выберите алгебраические выражения соответствующие или тождественно равные,
описанному ниже на русском языке.

Треть суммы чисел a и b




       
1.   1    •   (a + b)
3
       
2.   a + b
3
       
3.   a + b
2



 
 



Выберите алгебраические выражения соответствующие или тождественно равные,
описанному ниже на русском языке.

Четверть разности чисел a и b




       
1.   1    •   2(a – b)
8
       
2.   2a – 2b
8
       
3.   b – a
4
       
4.   1    •   (a – b)
4



 
 



Выберите алгебраические выражения соответствующие или тождественно равные,
описанному ниже на русском языке.

Произведение квадрата числа a и суммы двух чисел, a и b, деленное на четыре.


       
1.   a(a + b)  
22
       
2.     a2(a + b)
4
       
     3.   a(a2 + ba)
22


       
4.   a(a + ba)
4
       
5.   a • a • (a + b)
22
       
6.   (a3 + ba2)
4



 
 



Выберите алгебраические выражения соответствующие или тождественно равные,
описанному ниже на русском языке.

Произведение числа a и разности двух чисел, a и b, деленное на восемь.


       
1.   a(a - b)     : 2
22
       
2.   a(a - b)
22
       
3.   a(a - b)
23


       
4.   a(b - a)
-8
       
         5.   a(b - a)
23
       
6.   -2a(b - a)
4 • 4



 
 



Выберите алгебраические выражения соответствующие или тождественно равные,
описанному ниже на русском языке.


Разность произведения ab и числа c, деленная на число c.


       
1.   abc - c     : c
c
       
  2.   abc - c2
c2
       
3.   abc - c
c2


       
4.   abc - c2     : c
c
       
5.   ab - c
c
       
   6.   abc - c2     : c2
c



 
 



Преобразуйте одно выражение в другое и выберите названия законов арифметики,
которые вы применили для этого тождественного преобразования выражения.

ac + 2c – c = a + 1
c2c

        приведение подобных слагаемых

        сочетательное свойство умножения

        распределительный закон умножения

        деление дроби на число

        основное свойство дроби


 
 



Преобразуйте одно выражение в другое и выберите названия законов арифметики,
которые вы применили для этого тождественного преобразования выражения.

2nm – 3m + 9m   : m = n + 3
2mm

        приведение подобных слагаемых

        деление дроби на число

        сочетательное свойство умножения

        распределительный закон умножения

        умножение дроби на число

        основное свойство дроби


 
 



приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема