Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Школьный помощник
Вы вошли как гость
    

Координатная плоскость   Линейная функция и ее график


 приступить к решению задач




32. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Правила



         Уравнение вида     ax + by + c   =   0   называется линейным уравнением 
с двумя переменными,     где   a, b и c   —   некоторые числа   ( a ≠ 0 ,   b ≠ 0 ),
а   х и у   —   переменные. 

        Например:   

                      5x – 3y – 2   =   0 ;             a = 5 ,   b = – 3   и   c = – 2 ; 

          или     5x – 2   =   3y         ⇒        
5
3
x –
2
3
  =   y . 

            Последняя запись уравнения, равносильная первой, поможет 
нам найти значения   y   при определенных значениях   х . 

 
  Если х = 0 ,   то   у   =  
5
3
x –
2
3
  =  
5
3
• 0 –
2
3
  =   –
2
3
; 
  если х = 1 ,   то   у   =  
5
3
x –
2
3
  =  
5
3
• 1 –
2
3
  =  
3
3
  =   1; 
  если х = 3 ,   то   у   =  
5
3
x –
2
3
  =  
5
3
• 3 –
2
3
  =   4
1
3
; 
  если х = 6 ,   то   у   =  
5
3
x –
2
3
  =  
5
3
• 6 –
2
3
  =   9
1
3
. 

            Решением уравнения с двумя переменными называется такая пара их 
значений, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство. 
В нашем случае это: (0 и –
2
3
)   или   (1 и 1)   или   (3 и 4
1
3
)   или   (6 и 9
1
3
) и т. д. 

5x – 3y – 2   =   0 ;             5 • 0 – 3 • (−
2
3
) – 2 = 0 ;           5 • 1 – 3 • 1 – 2   =   0 ;   

                                              5 • 3 – 3 • 4
1
3
– 2 = 0 ;                   5 • 6 – 3 • 9
1
3
– 2 = 0 . 

          Используем полученные значения переменных, как координаты 
точек и нанесем их на координатную плоскость. 

 

          Мы видим, что наши точки расположены на одной прямой (линии). 
Любая точка этой прямой имеет координаты, являющиеся решением нашего 
уравнения. Значит, полученная прямая — это графическое решение нашего 
уравнения или его график. 


         Для того чтобы начертить график линейного уравнения достаточно 
найти две точки, но для этого надо быть уверенным, что перед вами 
именно линейное уравнение. 

        Чтобы выяснить, является уравнение линейным надо привести его к 
стандартному виду. 

            ax + by + c   =   0     либо     y   =   kx + m   где   k = –
a
b
 ,    a   m = –
c
b
. 

        Например: 

     
y
3
+ 5 = 3x       ⇒      
y
3
= 3x – 5     ⇒       y = 9x – 15     ⇒       9x – y – 15 = 0 . 

      7y + 2 =
x
2
      ⇒       7y =
x
2
– 2     ⇒       y =
1
14
x –
2
7
    ⇒       x – 14y – 4 = 0 . 

     
1
x
= y     ( деление числа на x ) ,   но    
y
x
= 5         ⇒         y = 5x + 0 . 

      x 2 = 3y – 5     ( x в степени ) ;     xy = 7y + 1     ( произведение x и y ) .   


     
1
y
= x     ( деление числа на y ) ,   но    
x
y
= 7         ⇒         y =
1
7
x + 0 . 

      y 2 = 4x       ( y в степени ) ;     xy = x + 1     ( произведение x и y ) .   



приступить к решению задач

предыдущая тема следующая тема





Задачи на тему "Линейное уравнение с двумя переменными и его график"



Выберите уравнения являющиеся линейными.
 
 
 
    3x – 5y  + 1  =  0 ;                 xy – y   =  0 ;                       x – 7y    =  3y – 2 ;

   
2
y
    =   3x – 2 ;                      x + y    =   2x – 2y ;              x + 3  =   2x + y .


 
 





Выберите уравнения, для которых является решением  пара чисел  (3; 7) .  
 
 
 
1)      x – 3y + 18   =   0  ;         2)       2x + y – 13   =   0  ;         3)       7x – 3y   =   0  ;

4)     3x  + 3  =   2y – 2  ;           5)      x  + 2   =  3y – 16  ;         6)       x  + 3   =   2y – 8  .


 
 





Выберите пары чисел, которые являются решением линейного уравнения   2x – 5y + 7   =   0 .
 
 
 
1)    (0 ;  1,2) ;             2)    (0 ;  1,4) ;             3)    (1 ;  1,8) ;

4)    (–1 ;  1) ;             5)    (–2 ;  0,6) ;           6)    (–3 ;  0,4) .


 
 





Выберите уравнения являющиеся линейными.
 
 
 

    x – 5y    =  3y – 2 ;                
x
y
  –  
5
2y
   =   3 ;                      
1
x
  –  
7y
3x
    =   2 ;

   
5
x
  –  y    =   2 ;                        x + y    =   2x2 – y ;                2x + 3  =   x + y2 .



 
 





Выберите уравнения являющиеся линейными.
 
 
 

   
x
y
   =  3y ;                        
x
y
 – 3   =  7 ;                        
1
y
  –  
x
y
    =   2 ;

   
5
x
  –  y    =   2 ;                 x     =   2x – y ;                  3x + 3  =   2x + y .



 
 





Выберите пары чисел, которые являются решением линейного уравнения   x – 3y + 6   =   0 .
 
 
 
1)    (0 ;  2)             2)    (0 ;  3)             3)    (3 ;  3)

4)    (-3 ;  -3)           5)    (-3 ;  2)           6)    (-3 ;  1).